2.1 はじめに

家計は住居選択 (どこに住むか？) に関する意思決定を行う。
この意思決定は予算制約の元で、近接性・空間・環境の快適性の3つの要因が関係するトレードオフとみなせる。
- 近接性: 通勤、友人宅への訪問、買い物、その他の活動に要する金銭および時間費用が含まれる。
- 空間: 住宅自体の規模と質、土地
- 環境の快適性: 学校の質や安全性、人種構成などの近隣特性、眺望などの自然特性
本書では、近接性と空間の間のトレードオフのみをモデル化する。環境に関しては別書参照。

2.2 住居選択の基本モデル

近接性と空間の間のトレードオフを取り扱うモデルを基本モデルとする。

このような文脈で家計にとって重要な空間特性はCBDからの距離のみである。よって都市空間は1次元として扱える。

一般的な消費者行動分析と同様に、家計は予算制約に従って効用を最大化するものと仮定する。効用関数を $U(z, s)$ と表す。

予算制約は $z + R(r)s = Y - T(r)$ で与えられる。

家計の住居選択を $max_{r,z,s} U(z, s)$ s.t. $z + R(r)s = Y - T(r), r \geq 0, z > 0, s > 0$ と表すことができる。

この本で使ってるモデルは全てこの基本モデルとその拡張。

効用関数は連続であり、全ての z > 0 および s > 0 において増加する。

また、全ての無差別曲線は滑らかで厳密に凸であり、軸と交わらない。

交通費用 $T(r)$ は $r$ の連続関数であり、全ての距離 r >= 0 において増加している。但し、 $0 \leq T(0) \lt Y, T(\infty) = \infty$ である。

以下の分析において仮定2.1と仮定2.2は常に成り立つものとする。その他、U(z, s)はzとsに関して2回連続微分可能、 $T(r)$ は $r$ に関して連続微分可能などの暗黙の仮定もある。

効用水準 $u = U(z, s)$ を、 $z$ について解くと、 $z = Z(s, u)$ の様に表される。

$z$ は敷地規模が $s$ の場合に効用水準 $u$ を達成するために必要な合成財の量。

式2.3では効用水準 $u = U(z, s)$ について、自明なことが説明されている。すなわち、

$\dfrac{\partial U(z, s)}{\partial z} \gt 0$ : 敷地規模 $s$ を固定して、合成財 $z$ を増やせば、効用 $u$ は増える。
$\dfrac{\partial U(z, s)}{\partial s} \gt 0$ : 合成財 $z$ を固定して、敷地規模 $s$ が増やせば、効用 $u$ は増える。

式2.4でも合成財関数 $z = Z(s, u)$ について、自明なことが説明されている。すなわち、

$\dfrac{\partial Z(s, u)}{\partial u} \gt 0$ : 敷地規模 $s$ を固定して、効用水準 $u$ を増やせば、合成財 $z$ は増える。
$\dfrac{\partial Z(s, u)}{\partial s} \lt 0$ : 効用水準 $u$ を固定して、敷地規模 $s$ を増やせば、合成財 $z$ は減る。