集合・位相入門 (松坂和夫) 第1章集合と写像 §2 集合の間の演算

和集合、積集合 (共通部分)、差集合、補集合、普遍集合 (全体集合)、ド・モルガンの定理
集合系: 元が全て集合である集合。
$X$ の冪集合: ある集合 $X$ の全ての部分集合を元とする集合。
$X$ の部分集合系: ある集合 $X$ の冪集合 $\mathfrak{B}$ の部分集合。
集合系 $\mathfrak{A}$ の和集合: $\bigcup\mathfrak{A}$ 、 ${ \displaystyle \begin{equation} \bigcup_{A \in \mathfrak{A}} A \end{equation} }$ 、 $\bigcup\{A | A \in \mathfrak{A}\}$
集合系 $\mathfrak{A}$ の積集合 (共通部分): $\bigcap\mathfrak{A}$ 、 ${ \displaystyle \begin{equation} \bigcap_{A \in \mathfrak{A}} A \end{equation} }$ 、 $\bigcap\{A | A \in \mathfrak{A}\}$
限量子 ( , )
- $\forall\ x (P)$ : 全ての $x$ に対して $P$ が成り立つ。
- $\exists\ x (P)$ : $P$ が成り立つような $x$ が少なくとも1つ存在する。
- $\forall\ (x \in X(P))$ : $X$ の全ての元 $x$ に対して $P$ が成り立つ。
- $\exists\ (x \in X(P))$ : $P$ が成り立つような $X$ の元 $x$ が少なくとも1つ存在する。
- $\forall x \exists y (P (x, y))$ : 全ての $x$ に対して、 $P(x, y)$ が成り立つような $y$ が存在する。
- $\exists y \forall x (P (x, y))$ : ある $y$ が存在して、(その $y$ と) 全ての $x$ に対して $P(x, y)$ が成り立つ。
- $(\forall x (P))' = \exists x (P')$
- $(\exists x (P))' = \forall x (P')$

読書メモ