読書メモ

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集合・位相入門 (松坂和夫) 第1章 集合と写像 §1 集合の概念

集合論 数学

集合・位相入門 (松坂和夫 数学入門シリーズ 1)

集合・位相入門 (松坂和夫 数学入門シリーズ 1)

A) 集合と元

  • 集合とはモノの集まり。但し、何が含まれて何が含まれないかが明確であること。元は集合に含まれるそれぞれのモノ。
  • 元の数が無限なら無限集合、有限なら有限集合。
  • N: 自然数、Z: 整数、Q: 有理数、R: 実数

B) 集合の記法

  • 外延的記法: \{1, 2, 3, \cdots, n\}
  • 内包的記法: \{変数 | 性質\}
  • 空集合: \phi, \{\}

C) 集合の相等

  • p_1 ならば p_2: p_1 \Rightarrow p_2
  • p_1 と p_2 は同等: p_1 \Leftrightarrow p_2
  • A = B とは、任意の対象 x について、 x \in A \Leftrightarrow x \in B が正しいことである。

D) 部分集合

(a) q が正しければ p の正否に関わらず p \Rightarrow q が成り立つ。これは自然。

(b) p が正しくないならば q の正否に関わらず p \Rightarrow q が成り立つ。これは不自然なので証明してみる。

  1. p は正しくないとする。
  2. それは p' は正しいことを意味する。 ─ (1)
  3. (a) と 2 より、 q' \Rightarrow p'。
  4. \therefore p \Rightarrow q

(b) を使って、 \phi \subset A を証明する。

  1. x \in \phi は正しくない。
  2. (b) と 1 より、 x \in \phi \Rightarrow x \in A が成り立つ。
  3. \therefore \phi \subset A