4. 均衡点の存在

ナッシュの定理

定理2.2: 戦略形 $n$ 人ゲームにおいて混合戦略の組 $q^* = (q^*_1, \cdots, q^*_n)$ が均衡点であるための必要十分条件は、 $q^* \in B(q^*)$ が成立することである。
これは、混合戦略の組 $q^*$ が最適応答対応 $B$ の不動点であることを示している。
定理2.3: 角谷の不動点定理 (Kakutani’s fixed point theorem)
定理2.4 (ナッシュの定理): 戦略形 $n$ 人ゲーム $G = (N, \{Q_i\}_{i \in N}, \{F_i\}_{i \in N})$ において、混合戦略の範囲で少なくとも 1 つの均衡点が存在する。

ゼロ和2人ゲームにおける均衡点

定義2.7: ゼロ和 $2$ 人ゲームにおいて、 $F(q_1, q_2)$ をプレイヤー $1$ の期待利得関数とする。
- プレイヤー $1$ の混合戦略 $q_1 \in Q_1$ の保証水準 (security level) とは、戦略 $q_1$ を選択した場合の期待利得の最小値 ${ \displaystyle \begin{equation} \min_{q_2 \in Q_2} F(q_1, q_2) \end{equation} }$ をいう。
- プレイヤー $2$ の混合戦略 $q_2 \in Q_2$ の保証水準 (security level) とは、戦略 $q_2$ を選択した場合の期待利得の最大値 ${ \displaystyle \begin{equation} \max_{q_1 \in Q_1} F(q_1, q_2) \end{equation} }$ をいう。
- プレイヤー $1$ の混合戦略 $q^*_1 \in Q_1$ がマックスミニ戦略 (maxmini strategy) であるとは、 $q^*_1$ が、 ${ \displaystyle \begin{equation} \min_{q_2 \in Q_2} F(q^*_1, q_2) = \max_{q_1 \in Q_1} \min_{q_2 \in Q_2} F(q_1, q_2) \end{equation} }$ を満たすときをいう。この右辺の値を、マックスミニ値という。
- プレイヤー $2$ の混合戦略 $q^*_2 \in Q_2$ がミニマックス戦略 (minimax strategy) であるとは、 $q^*_2$ が、 ${ \displaystyle \begin{equation} \max_{q_1 \in Q_1} F(q_1, q^*_2) = \min_{q_2 \in Q_2} \max_{q_1 \in Q_1} F(q_1, q_2) \end{equation} }$ を満たすときをいう。この右辺の値を、ミニマックス値という。
定理2.5: ゼロ和 $2$ 人ゲームにおいて、マックスミニ値 $\leq$ ミニマックス値が成り立つ。
定理2.6: ゼロ和 $2$ 人ゲームにおいて均衡点 $q^* = (q^*_1, q^*_2)$ が存在するための必要十分条件は、 ${ \displaystyle \begin{equation} \max_{q_1 \in Q_1} \min_{q_2 \in Q_2} F(q_1, q_2) = \min_{q_2 \in Q_2} \max_{q_1 \in Q_1} F(q_1, q_2) \end{equation} }$ が成立することである。
定理2.7 (ミニマックス定理): 定理2.4と定理2.6から、ゼロ和 $2$ 人ゲームにおいて、 ${ \displaystyle \begin{equation} \max_{q_1 \in Q_1} \min_{q_2 \in Q_2} F(q_1, q_2) = \min_{q_2 \in Q_2} \max_{q_1 \in Q_1} F(q_1, q_2) \end{equation} }$ が成立する。